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発掘された懐かしの音源を聴きながら二項定理を学習

音楽 統計学

CDやらMDやらカセットやらを詰め込んだ「思い出いっぱいの音楽ダンボール箱」から、懐かしのライプ音源を発掘。


ギターの音があの曲のイントロ部分にやがて収束していく。

「何だろうこの曲は?」という疑問が一気に解消され、納得感と共に、何ともいえない快感が訪れる。

非常に「憎い」演出である。

とかなんとか書きながら、今夜は二項定理(と二項分布)の学習。

(a+b)^nが、\sum\limits_{k = 0}^n {_n%5Cmathrm{C}_k}{a^k}{b^{n-k}}と表現できることに素朴に感動。

一般項が_n%5Cmathrm{C}_k{a^k}{b^{n-k}の形で表せるので、(a+b)^nをわざわざ全部展開しなくても、kの値を指定しさえすれば、お目当ての{a^k}{b^{n-k}}の係数(例えば、{a^3}{b^{n-3}}とか。もちろんnの値も具体的に指定する。)を把握することができる。

これは便利だ。

さらに、a=Pb=1-Pと置き、Pを「なんらかの製品n個に不良品がk個含まれる確率」と考えるならば、上記の式は、1=(P+(1-P))^n=\sum\limits_{k = 0}^n {_n%5Cmathrm{C}_k}{P^k}{{(1-P)}^{n-k}}と書き換えることができ、「なんらかの製品n個に不良品がk個含まれる確率」を、下記の一般項の形で把握することができる。

_n%5Cmathrm{C}_k{P^k}{{(1-P)}^{n-k}


非常に「憎い」演算だと思う。

「なんらかの製品n個に不良品がk個含まれる確率」と「なんらかの製品n個に良品がn-k個含まれる確率」の総和が常に1となることを利用して、この性質を、1=(P+(1-P))^nという「べき乗n」の形で巧く表現することにより、「二項定理の世界」と「確率の世界」をまんまと連結させることに成功している点が、憎い。

この演算により、「なんらかの製品n個に不良品がk個含まれる確率」を、我々は安心して簡単に導き出すことができる。

「うまくできてんなー。」と感心することしきりである。