幻想第一

発掘された懐かしの音源を聴きながら二項定理を学習

音楽統計学

CDやらMDやらカセットやらを詰め込んだ「思い出いっぱいの音楽ダンボール箱」から、懐かしのライプ音源を発掘。

ギターの音があの曲のイントロ部分にやがて収束していく。

「何だろうこの曲は？」という疑問が一気に解消され、納得感と共に、何ともいえない快感が訪れる。

非常に「憎い」演出である。

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とかなんとか書きながら、今夜は二項定理（と二項分布）の学習。

$(a+b)^n$ が、 $\sum\limits_{k = 0}^n {_n%5Cmathrm{C}_k}{a^k}{b^{n-k}}$ と表現できることに素朴に感動。

一般項が $_n%5Cmathrm{C}_k{a^k}{b^{n-k}$ の形で表せるので、 $(a+b)^n$ をわざわざ全部展開しなくても、kの値を指定しさえすれば、お目当ての ${a^k}{b^{n-k}}$ の係数（例えば、 ${a^3}{b^{n-3}}$ とか。もちろん $n$ の値も具体的に指定する。）を把握することができる。

これは便利だ。

さらに、 $a=P$ 、 $b=1-P$ と置き、 $P$ を「なんらかの製品n個に不良品がk個含まれる確率」と考えるならば、上記の式は、 $1=(P+(1-P))^n=\sum\limits_{k = 0}^n {_n%5Cmathrm{C}_k}{P^k}{{(1-P)}^{n-k}}$ と書き換えることができ、「なんらかの製品n個に不良品がk個含まれる確率」を、下記の一般項の形で把握することができる。

$_n%5Cmathrm{C}_k{P^k}{{(1-P)}^{n-k}$

非常に「憎い」演算だと思う。

「なんらかの製品n個に不良品がk個含まれる確率」と「なんらかの製品n個に良品がn-k個含まれる確率」の総和が常に1となることを利用して、この性質を、 $1=(P+(1-P))^n$ という「べき乗n」の形で巧く表現することにより、「二項定理の世界」と「確率の世界」をまんまと連結させることに成功している点が、憎い。

この演算により、「なんらかの製品n個に不良品がk個含まれる確率」を、我々は安心して簡単に導き出すことができる。

「うまくできてんなー。」と感心することしきりである。