PB2010_算数_2単位目 受付日:2016.05.13 評価日:?

課題

1.敷き詰めることのできる正多角形は正三角形、正方形、正六角形のみであることを、式や表を用いて説明しなさい。

2.【0】【1】【2】【3】の4枚のカードから3枚を選び、左から1列に並べて3桁の数をつくるとき、偶数になる場合と奇数になる場合の数はどちらが多いか、樹形図を用いて説明しなさい。

本文

1.敷き詰めることのできる正多角形は正三角形、正方形、正六角形のみであることを、式や表を用いて説明しなさい。

 敷き詰めが可能な正多角形は、「1つの頂点に集る角を自然数個合わせると360°になる」という条件を満たす。
 n角形は、(n-2)個の三角形に分割でき、n角形の和は、(n-2)×180°となる。また、正n角形の1つの内角は、正n角形の内角の和をn等分したものであるので、正n角形の1つの内角は、(n-2)×180°/nで求めることができる。これらの性質を利用すれば、「1つの頂点に集る角をm個合わせると360°になる」という条件を、下記の式で表現することができる。

m{(n-2)×180/n }=360

 さらに、上記の式を変形して整理していくと、次のようになる。

m{(n-2)×180/n }=360
m-(2m/n)=2
mn-2m=2n
(m-2)(n-2)=4 

 上記の式(m-2)(n-2)=4は、mとnが自然数になることを踏まえると、4×1、2×2、1×4の3通りの場合に成り立つ。それぞれの場合におけるmとnの値を算出すると、(m、n)は、(6、3)、(4、4)、(3、6)となる。この関係を下記の表Aで示す。

 

表A

 

 以上より、敷き詰めることのできる正多角形は、正三角形、正方形、正六角形のみであるといえる。

 

2.0、1、2、3の4枚のカードから3枚を選び、左から1列に並べて3桁の数をつくるとき、偶数になる場合と奇数になる場合の数はどちらが多いか、樹形図を用いて説明しなさい。

 0、1、2、3の4枚のカードから3枚を選び、左から1列に並べて作ることのできる3桁の数は、下記の図Aの樹形図から、全部で18個であることが分かる。

 

図A

 

 図Aの樹形図では、偶数を10個、奇数を8個確認できる。以上より、0、1、2、3の4枚のカードから3枚を選び、左から1列に並べて3桁の数を作る際には、奇数になる場合の数よりも、偶数になる場合の数が多くなるといえる。

参考・引用文献
齋藤昇・小原豊著 『授業に役立つ算数教科書の数学的背景』 東洋館出版社、2015年、p.75‐76、p.102‐106